TODO: 本文暴露出了我曾经的数学基础的弱点, 需要修改

数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}2 + \dfrac1{a_n}\), 求其通项公式.

已知函数 \(f(x) = \sqrt{x^2+1}-ax\) (\(a \in \mathbb R\)).

(1) 当 \(a=1\) 时, 判断 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上的点调性;
(2) 求实数 \(a\) 的取值范围, 使得函数 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R^+\) 上是单调函数.

设 \(p\) 和 \(q\) 是两个质数, 求不能表示为 \(mp + nq\) (其中, \(m,n\) 是自然数) 的最大正整数 (用 \(p\) 和 \(q\) 表示).

100 个数围成一圈, \(a_{3} > a_{2} + a_{1}\), \(a_{4} > a_{3} + a_{2}\), \(\dots\) , \(a_{100} > a_{99} + a_{98}\), \(a_{1} > a_{100} + a_{99}\), \(a_{2} > a_{1} + a_{100}\), 问其中最多有多少个正数?

已知 \(S_n\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和, 规定 \(S_0 = 0\), 若对任意 \(n \in \mathbb N^*\), 均有 \(\dfrac{a_n}{2017} = - \dfrac{2017+S_{n-1}}{n}\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{2017} 2^n a_n = \) ______.

TODO: 微博图床已挂, 本篇缺图, 需要找回

问题 \(a,b,c \ge 0\), 求证:
\[
\begin{aligned}
&\sqrt{a^2 - ab + b^2} \cdot \sqrt{b^2 - bc + c^2} \\
&{}+ \sqrt{b^2 - bc + c^2} \cdot \sqrt{c^2 - ca + a^2} \\
&{}+ \sqrt{c^2 - ca + a^2} \cdot \sqrt{a^2 - ab + b^2}
\ge a^2 + b^2 + c^2
\end{aligned}
\]