一、选择题

1. 若下列命题正确的是 ( )

   A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
   B. 经过一条直线和一个点确定一个平面
   C. 经过三点确定一个平面
   D. 四边形确定一个平面

2. 若直线 \(l_1\) 和 \(l_2\) 是异面直线, \(l_1\) 在平面 \(\alpha\) 内, \(l_2\) 在平面 \(\beta\) 内, \(l\) 是平面 \(\alpha\) 与平面 \(\beta\) 的交线, 则下列命题正确的是 ( )

   A. \(l\) 与 \(l_1, l_2\) 都不相交
   B. \(l\) 与 \(l_1, l_2\) 都相交
   C. \(l\) 至多与 \(l_1, l_2\) 中的一条相交
   D. \(l\) 至少与 \(l_1, l_2\) 中的一条相交

3. 如图所示, \(O\) 是正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的中心, \(E\) 为棱 \(BB_1\) 的中点, 则空间四边形 \(OEC_1D_1\) 在正方体各个面上的投影不可能是 ( )

   

4. 已知一个水平放置的正方形用斜二测画法做出的直观图是一个平行四边形, 平行四边形有一条边长是 \(4\), 则此正方形的面积是 ( )

   A. \(16\)
   B. \(64\)
   C. \(16\) 或 \(64\)
   D. \(8\sqrt2\)

5. 如图, 在平行四边形 \(ABCD\) 中, \(AD = 2AB = 2\), \(\angle BAC = 90^\circ\). 将 \(\triangle ACD\) 沿 \(AC\) 折起, 使得 \(BD = \sqrt5\). 在三棱锥 \(D-ABC\) 的四个面中, 下列结论错误的是 ( )

   

   A. 面 \(ABD \perp\) 面 \(BCD\)
   B. 面 \(ABD \perp\) 面 \(ACD\)
   C. 面 \(ABC \perp\) 面 \(ACD\)
   D. 面 \(ABC \perp\) 面 \(BCD\)

6. 正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 棱长为 \(1\), 线段 \(B_1D_1\) 上有两个动点 \(E\), \(F\), 且 \(EF = \dfrac12\), 则下列结论错误的是 ( )

   A. \(AC \perp BE\)
   B. \(EF \parallel {}\) 平面 \(ABCD\)
   C. 三棱锥 \(A-BEF\) 的体积为定值
   D. \(\triangle AEF\) 的面积与 \(\triangle BEF\) 的面积相等

7. 某空间几何体的三视图如图所示, 则此几何体的体积 ( )

   

   A. 有最小值 \(2\)
   B. 有最大值 \(2\)
   C. 有最大值 \(6\)
   D. 有最大值 \(4\)

8. 三棱锥 \(P-ABC\) 的侧棱 \(PA,PB,PC\) 两两垂直, 侧面积分别是 \(6,4,3\), 则三棱锥的体积是 ( )

   A. \(4\)
   B. \(6\)
   C. \(8\)
   D. \(10\)

9. 在四面体 \(ABCD\) 中, 界面 \(PQMN\) 是正方形, 则下列结论错误的是 ( )

   

   A. \(AC=BD\)
   B. \(PM\) 与 \(BD\) 异面
   C. \(AC \parallel{}\) 截面 \(PQMN\)
   D. \(AC \perp BD\)

10. 已知直线 \(l_1 \parallel {}\) 平面 \(\alpha\), 直线 \(l_2 \subset \alpha\), 且 \(l_1 \parallel l_2\), 点 \(A \in l_1\), 点 \(B \in l_2\). 记 \(A\) 到 \(\alpha\) 的距离为 \(a\), \(A\) 到 \(l_2\) 的距离为 \(b\), \(A,B\) 两点间的距离为 \(c\), 则 (____)

    A. \(b \le a \le c\)
    B. \(b \le c \le a\)
    C. \(a \le b \le c\)
    D. \(a \le c \le b\)

二、填空题

1. 已知 \(a \parallel \alpha\), \(b \parallel \alpha\), 则直线 \(a,b\) 的位置关系①平行; ②相交; ③异面. 其中可能成立的序号为 ________.

2. 若正三棱柱所有棱长都为 \(a\) 且体积为 \(16\sqrt3\), 则 \(a = \) ________.

3. 已知正四棱锥的底面边长和高均为 \(2\), 则它的侧棱长等于 ________.

4. 三棱锥 \(D-ABC\) 中, \(E,F,G\) 分别在侧棱 \(DA,DB,DC\) 上, 且平面 \(EFG \parallel {}\) 平面 \(ABC\), 给出下列三个结论:
   ① \(EF \parallel AB\);
   ② \(BC \parallel{}\) 平面 \(EFG\);
   ③ \(EF \parallel {}\) 平面 \(ABC\).
   其中正确的命题序号是 ________.

5. 点 \(P\) 是正方体 \(ABCD-A'B'C'D'\) 的棱 \(DD'\) 上一点, 若平面 \(APC' \perp\) 平面 \(ACC'\), 则 \(\dfrac{D'P}{D'D} = \) ________.

6. 在四面体 \(ABCD\) 中, 以 \(A\) 为顶点的三条棱两两垂直, 其长分别为 \(1, \sqrt6,3\), 则这个四面体的外接球体积为 ________.

三、解答题

1. 四棱锥 \(P-ABCD\) 底面是正方形, \(PA \perp\) 底面 \(ABCD\), \(\angle PDA = 45^\circ\), \(E,F\) 分别为棱 \(AB, PD\) 的中点. 求证: (1) \(AF \parallel{}\) 平面 \(PCE\); (2) 平面 \(PCE \perp\) 平面 \(PCD\).

2. 已知一个正三棱锥 \(P-ABC\) 的正视图如图所示, 若图中 \(AC = BC = \dfrac32\), \(PC = \sqrt6\), 求此正三棱锥的表面积.

   

3. 如图, 在四棱锥 \(P-ABCD\) 中, 底面 \(ABCD\) 是平行四边形, 点 \(M\) 为棱 \(AB\) 上一点, 且 \(AM = 2MB\), 点 \(N\) 为棱 \(PC\) 上一点.
   (1) 若 \(PN = 2NC\), 求证: \(MN \parallel {}\) 平面 \(PAD\);
   (2) 若 \(MN \parallel {}\) 平面 \(PAD\), 求证: \(PN = 2NC\).

   

4. 如图, 直三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 中, \(\angle BAC = 90^\circ\), \(AB = AC = 2\), \(AA_1 = \sqrt3\), \(M,N\) 分别为 \(BC\) 和 \(CC_1\) 的中点, \(P\) 为侧棱 \(BB_1\) 上的动点.
   (1) 求证: 平面 \(APM \perp\) 平面 \(BB_1C_1C\);
   (2) 若 \(P\) 为线段 \(BB_1\) 的中点, 求证: \(A_1N \parallel{}\) 平面 \(APM\);
   (3) 试判断直线 \(BC_1\) 与平面 \(APM\) 是否能够垂直. 若能垂直, 求 \(PB\) 的值; 若不能垂直, 请说明理由.

   

答案

一、选择题

二、填空题

1. ①②③.
2. \(4\).
3. \(\sqrt6\).
4. ①②③.
5. \(\dfrac12\).
6. \(\dfrac{32\pi}3\).

三、解答题

1. 提示: 取 \(PC\) 中点 \(G\), 则 \(EG \parallel AF\), (1) 得证; 又 \(AF \perp\) 平面 \(PCD\), (2) 得证.
2. \(9\sqrt3\).
3. 提示: 取棱 \(CD\) 上对应的三等分点 \(Q\), 利用平面 \(QMN\) 和平面 \(PAD\) 之间的平行关系.
4. (1) 注意 \(AM \perp\) 平面 \(BB_1C_1C\), 即证;
   (2) 取 \(B_1C_1\) 中点 \(Q\), 证明平面 \(QA_1N \parallel{}\) 平面 \(APM\);
   (3) \(PB = \dfrac43\sqrt3\).