鲁列斯三角形问题

2017/10/09 posted in 数学随笔

TODO: 微博图床已挂, 本篇缺图, 需要找回

原题

分析

首先，一个回避不掉的问题是鲁列斯三角形与外接正方形的接触关系。仔细思考后可以想到以下几点（也许你想不到这么多，或者还能想出更多）：

鲁列斯三角形与正方形的四边都各有一个公共点；
通常鲁列斯三角形只有两个顶点在正方形的两条临边上，而这两个顶点的对弧分别于正方形的另外两条边相切，如下左图，而原来题图中三个顶点都在正方形边上的情况只是一种（比较少见的）临界情况；
如下左图，
- 图示情况中，顶点 \(A\)、\(B\) 在正方形的边上，有 \(\angle ABH \ge 30^\circ\)，\(\angle BAH \ge 30^\circ\)，而顶点 \(C\) 在正方形内部，边 \(AC\) 和 \(BC\) 均与正方形某条边的夹角在 \(30^\circ\) 以内；
- 角 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 定义如图，\(\alpha + \beta = \angle BAC = 60^\circ\)，图示情况中 \(AC\) 与 \(EF\) 不接触，必定有 \(\beta < 30^\circ < \alpha\)，考虑如果 \(\beta\) 增加，\(\alpha\) 减小（相应的点 \(A\) 向下移动），当 \(\beta\) 增加到比 \(30^\circ\) 大时，\(\alpha\) 就比 \(30^\circ\) 小，此时顶点 \(C\) 将与 \(EF\) 接触上，而顶点 \(B\) 则将脱离 \(HG\)；
- 你应该自己认真琢磨一下鲁列斯三角形完整旋转一周的过程当中，旋转到不同方位时，它的顶点和弧边与外界正方形的位置关系，以及正 \(\triangle ABC\) 的三条边与正方形各边的角度关系，注意体会当正三角形一边与正方形一边成 \(30^\circ\) 角时的临界情。

第一问

有了上面这些分析，大致够我们做这个问题了。按上右图所示建立坐标系，由正方形的对称性，这应该最直接容易想到的坐标系定义方式。

图示情况下，顶点 \(A\)、\(B\) 在正方形的边上，\(30^\circ \le \angle BAH \le 60^\circ\)，\(60^\circ \le \angle BAT \le 90^\circ\)，点 \(T\) 到 \(EH\) 的距离为 \(|AT| \cdot \sin\angle BAT\)，而 \(|AT| = \frac{\sqrt3}3\)，因此点 \(T\) 到 \(EH\) 距离的取值范围是 \(\left[ \frac12, \frac{\sqrt3}3 \right]\)，于是点 \(T\) 的横坐标取值范围是 \(\left[ \frac12 - \frac12 , \frac{\sqrt3}3 - \frac12 \right]\) 即 \(\left[ 0, \frac{2\sqrt3 - 3}6 \right]\)（不难得到图示情况下纵坐标的取值范围也是它）。

类似的可以分析另外三种情况，

三角形有两个顶点位于 \(HG\)、\(FG\) 边上；
三角形有两个顶点位于 \(EF\)、\(FG\) 边上；
三角形有两个顶点位于 \(EF\)、\(EH\) 边上。

综合起来最终的结论应该是：点 \(T\) 的横坐标 \(x\) 和纵坐标 \(y\) 的取值范围都是
\[
\left[ -\frac{2\sqrt3 - 3}6, \frac{2\sqrt3 - 3}6 \right]
\]

第二问

仍然考虑顶点 \(A\)、\(B\) 位于正方形边上的图示情况，仍采用上面的角度定义：\(\alpha = \angle ABH\)。考虑 \(AB\) 的中点 \(D\)，则 \(\angle DHB = \alpha\)，\(|DH| = \frac12 |AB| = \frac12\)，于是
\[
\overrightarrow{HD} = \left( \frac12 \cos\alpha, \frac12 \sin\alpha \right)
\]
注意 \(DT \perp AB\)，故 \(DT\) 与 \(y\) 轴夹角也是 \(\alpha\)，另有 \(|DT| = \frac{\sqrt3}6\)，于是
\[
\overrightarrow{DT} = \left( \frac{\sqrt3}6 \sin\alpha, \frac{\sqrt3}6 \cos\alpha \right)
\]
另外显然有 \(\overrightarrow{OH} = \left( -\frac12, -\frac12 \right)\)，故
\[
\overrightarrow{OT} = \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HD} + \overrightarrow{DT}
= \left(
\frac12 \cos\alpha + \frac{\sqrt3}6 \sin\alpha - \frac12, \
\frac12 \sin\alpha + \frac{\sqrt3}6 \cos\alpha - \frac12
\right)
\]
即点 \(T\) 的坐标 \((x,y)\) 满足
\[
\begin{cases}
x&=\frac12 \cos\alpha + \frac{\sqrt3}6 \sin\alpha - \frac12 \\
y&=\frac12 \sin\alpha + \frac{\sqrt3}6 \cos\alpha - \frac12
\end{cases}
\]
反解得
\[
\begin{cases}
\cos\alpha &= 3 \left(x + \frac12 \right) -\sqrt3 \left(y + \frac12 \right) \\
\sin\alpha &= 3 \left(y + \frac12 \right)-\sqrt3 \left(x + \frac12 \right)
\end{cases}
\]
由 \(\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 可得 \((x,y)\) 满足的方程为
\[
\left[ 3 \left(x + \frac12 \right) -\sqrt3 \left(y + \frac12 \right) \right]^2 +
\left[ 3 \left(y + \frac12 \right)-\sqrt3 \left(x + \frac12 \right) \right]^2
=1
\]
化简得
\[
12 \left[
\left(x + \frac12\right)^2 -
\sqrt3 \left(x + \frac12\right) \left(y + \frac12\right) +
\left(y + \frac12\right)^2
\right] = 1
\]
或
\[
12 \left( x^2 - \sqrt3 xy + y^2 \right) +
6 \left( 2 - \sqrt3 \right) \left( x + y \right) +
3 \left( 2 - \sqrt3 \right) - 1 = 0
\]
以上讨论仅限于“三角形有两个顶点位于 \(HG\)、\(EH\) 边上”时才成立，从第一问的讨论过程中，不难推断此时点 \(T\) 位于第一象限，因而对应的轨迹是上述方程所定义的曲线位于第一象限的部分。

【高能预警】

另外还有三种情况，由对称性不难得到它们的轨迹方程：

三角形有两个顶点位于 \(HG\)、\(FG\) 边上时，轨迹是

\[
12 \left( x^2 + \sqrt3 xy + y^2 \right) +
6 \left( 2 - \sqrt3 \right) \left( x - y \right) +
3 \left( 2 - \sqrt3 \right) - 1 = 0
\]

在第二象限的部分；

（根据对称性，把原来曲线方程中的 \(y\) 换成 \(-y\)，想一想为什么？）
三角形有两个顶点位于 \(EF\)、\(FG\) 边上时，轨迹是

\[
12 \left( x^2 - \sqrt3 xy + y^2 \right) -
6 \left( 2 - \sqrt3 \right) \left( x + y \right) +
3 \left( 2 - \sqrt3 \right) - 1 = 0
\]

在第三象限的部分；

（根据对称性，把原来曲线方程中的 \(x\) 换成 \(-x\)，\(y\) 换成 \(-y\)）
三角形有两个顶点位于 \(EF\)、\(EH\) 边上时，轨迹是

\[
12 \left( x^2 + \sqrt3 xy + y^2 \right) +
6 \left( 2 - \sqrt3 \right) \left( -x + y \right) +
3 \left( 2 - \sqrt3 \right) - 1 = 0
\]

在第四象限的部分。

（根据对称性，把原来曲线方程中的 \(x\) 换成 \(-x\)）

如果你不知道应该怎么用对称性推导这些结论，那就按照前面的方法，分别把这三种情况的图形画出来，做三次详细的推导计算

\(T\) 的轨迹的形状【超高能预警】

三角形有两个顶点位于 \(HG\)、\(EH\) 边上时，方程
\[
12 \left( x^2 - \sqrt3 xy + y^2 \right) +
6 \left( 2 - \sqrt3 \right) \left( x + y \right) +
3 \left( 2 - \sqrt3 \right) - 1 = 0
\]
描述的是一个椭圆，如下图中左下侧的椭圆，它在第一象限的部分其实只占整个椭圆的很小一部分。下图中的另外三个椭圆则分别是另外三种情况下，所得到的轨迹方程对应的曲线图像。