已知函数 \(f(x) = \sqrt{x^2+1}-ax\) (\(a \in \mathbb R\)).

(1) 当 \(a=1\) 时, 判断 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上的点调性;
(2) 求实数 \(a\) 的取值范围, 使得函数 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R^+\) 上是单调函数.

第 (1) 问

第 (1) 问应该还比较简单, \(a=1\) 时, 函数 \(f(x) = \sqrt{x^2+1} - x\).

这个函数在 \(x \ge 0\) 时, \(\sqrt{x^2+1}\) 跟 \(x\) 的单调性趋势相同, 因此它们的差并不能直接判断单调性. 但是可以做“分子有理化”的变形:
\[
f(x) = \dfrac{\left( \sqrt{x^2+1} - x \right) \left( \sqrt{x^2+1} + x \right)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \dfrac1{\sqrt{x^2+1} + x}
\]
那么就能明显看出来是单调减了. 需要注意的是, 以上的讨论只对 \(x \ge 0\) 的情况成立.

在 \(x \le 0\) 时, 这个函数的单调性其实是非常好讨论的, 因为这个时候, \(x\) 越大, \(\sqrt{x^2+1}\) 和 \(-x\) 都会越小, 于是 \(f(x) = \sqrt{x^2+1} + (-x)\) 当然也就越小.

于是综上所述, \(f(x) = \sqrt{x^2+1} - x\) 在整个实数集 \(\mathbb R\) 上都是单调递减的.

第 (2) 问

update 20171127

1. 上一稿中, 我将第二问的题干错看成了

   求实数 \(a\) 的取值范围, 使得函数 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R^+\) 上是单调增函数.

   而得到了错误的结论, 在这里更正;

2. Z. Q. Ren 老师提供了一种三角换元的方法, 使得这个题在不用导数的情况下, 有另一种更“优雅”的方法, 这里也分享一下.

第 (2) 问的难度可能相对就较大了. 有了第 (1) 问的结论，首先应该很容易判断:

• \(a \ge 1\) 时, \(f(x)\) 一定单调减,
• \(a \le 0\) 时, \(f(x)\) 一定单调增.

因此, 这两个取值范围肯定可以. 所以接下来的问题在于 \((0,1)\) 区间中的值能不能取?

对于一般的 (暂不知具体取值的) \(a\) 值, 没有比较好的技巧可用, 我们只能是从单调性的定义出发来研究一下.

设 \(x_1, x_2 \in \mathbb R^+\), \(x_1<x_2\). 可以先做下面的计算:
\[
\begin{aligned}
f(x_1) - f(x_2)
&= \left( \sqrt{x_1^2+1} - a x_1 \right) - \left( \sqrt{x_2^2+1} - ax_2 \right) \\
&= \left( \sqrt{x_1^2+1} - \sqrt{x_2^2+1} \right) - a(x_1 - x_2) \\
&= \dfrac{x_1^2 - x_2^2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}} - a(x_1 - x_2) \\
&= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}} - a \right) (x_1 - x_2)
\end{aligned}
\]
最后的结果中, 第二个括号里的值确定是小于 \(0\) 的, 所以我们也就希望第一个括号里的数在区间 \(\mathbb R^+\) 上不会变号.

就是说 \(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}}\) 要么永远大于 \(a\), 要么永远小于 \(a\). 但在函数 \(f(x)\) 里, \(a\) 是一个常数, 只是取值待定. 因此, 上面的结论可以说成:

\(a\) 得大于 \(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}}\) 能取到的最大值, 或者小于它能取到的最小值.

于是接下来的问题就变成了 \(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}}\) 的取值范围. 这个问题看上去好像不是很容易, 但回顾一下我们已经得到过哪些结论?

前面我们已经得到 \(a\ge1\) 或 \(a\le0\) 的时候, 都是满足题目要求的. 那么也就是说:

\(a\ge1\) 或 \(a\le0\) 的时候, \(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}} - a\) 要么恒为正数值, 要么恒为负数值 ( \(\forall x_1,x_2 \in \mathbb R^+, x_1 < x_2\)).

或者说

\(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}}\) 的最大值一定小于 \(1\), 而最小值一定大于 \(0\).

仔细思考一下当 \(x_1\) 和 \(x_2\) 在 \(\mathbb R^+\) 上取不同值的时候, 不难发现 \(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}}\) 的取值确实总在 \((0,1)\) 上, 并且它能够取遍 \((0,1)\) 区间上的所有数值. 具体来说,

• 当 \(x_1,x_2\) 取值无限小 (无限接近于零) 的时候,这个分式的值就会无限接近于 \(0\);
• 而当 \(x_1,x_2\) 取值无限大, 越来越大的时候, 分母中两个根号下的 \(1\) 相对于 \(x_1\) 和 \(x_2\) 来说, 变得越来越微不足道, 分母与分子的值就会越来越接近, 分式值会无限接近于 \(1\) (但是永远小于 \(1\)).

有了这些分析, 大致可以确认 \(\dfrac{x_1 + x_2}{\sqrt{x_1^2+1} + \sqrt{x_2^2+1}}\) 的最值范围就是 \((0,1)\). 因此, 为使得函数 \(f(x)\) 单调, \(a\) 的取值范围应该是 \((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)\).

补记

这个题的第 (2) 问, 我觉得应该是在学完导数以后再来做, 才是比较合理的. 不用导数的话, 大概只能做成上面这个样子, 有些勉强. 虽然题目还算能做, 但是这个思路和写出来的解题过程看上去就有点不是正常人能想出来的.

并且, 事实上我写的这个思考和分析过程, 带有很强的高等数学的研究学习技巧, 一个中学生很难面面俱到的思考出的所有方面. 如果能看懂这个这个分析过程, 并且在以后的学习和做题中加以模仿, 那就很好了.

最后, 补两张函数图像, 增强一下直观感受.

• 分别是 \(a=0\), \(a=1\) 和 \(a = \dfrac1{10}\) 的情形.
  

• 再来一张局部放大.
  

  • 注意这张放大图要看清 \(x,y\) 轴上的刻度位置.
  • 另外注意图中的蓝色线 (\(x = \dfrac1{10}\) 的情形) 在 \((0,\dfrac1{10})\) 这个区间上确实是单调减的, 但是由于这个区间太短, 函数下降的趋势也不是很明显, 因此必须得把图像放大足够倍数才能看出来.

Z. Q. Ren 老师提供的三角换元法

注意到函数 \(f(x) = \sqrt{x^2+1}-ax\) 的形式, 可以设 \(x = \tan\theta\). 我们讨论的 \(x\) 的取值范围是 \(\mathbb R^+\), 因此只需关注 \(\theta \in (0, \dfrac\pi2)\) 这个区间即可. 那么
\[
f(x)
= \sqrt{\tan^2\theta+1} - a \tan\theta
= \dots
= (-a) \cdot \dfrac{\sin\theta - \frac1a}{\cos\theta - 0}
\]
由于 \(x\) 关于 \(\theta\) 的变化趋势是单调的 (\(x\) 是 \(\theta\) 的单调增函数), 因此只需 \(f(x)\) 关于 \(\theta\) 单调即可 (无论单调增或单调减都行), 或者其实只需 \(\dfrac{\sin\theta - \frac1a}{\cos\theta - 0}\) 关于 \(\theta\) 单调即可.

而 \(\dfrac{\sin\theta - \frac1a}{\cos\theta - 0}\) 可以看成是平面直角坐标系上 \((\cos\theta, \sin\theta)\) 和 \(\left( 0, \dfrac1a \right)\) 两点连线的斜率. 仔细¹的考察并利用这个几何意义, 最终应该能得出结论: 只要第二个点的纵坐标 \(\dfrac1a \le 1\), 这个连线斜率随 \(\theta\) 的变化就是单调的. 因此, \(a\le 0\) 或 \(a\ge1\).²