已知 \(S_n\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和, 规定 \(S_0 = 0\), 若对任意 \(n \in \mathbb N^*\), 均有 \(\dfrac{a_n}{2017} = - \dfrac{2017+S_{n-1}}{n}\), 则 \(\sum\limits_{n=1}^{2017} 2^n a_n = \) ______.

Qer: duyan@bj#4 20171012

解答

根据已知条件, \(n a_n = -2017^2 - 2017 S_{n-1}\),

于是 \((n+1) a_{n+1} = -2017^2 - 2017 S_{n}\),

两式相减得 \((n+1) a_{n+1} - n a_n = -2017 (S_n - S_{n-1}) = -2017 a_n\),

变形得 \(a_{n+1} = \dfrac{n-2017}{n+1} \cdot a_n\),

于是 \(a_n = \dfrac{n-2018}{n} \cdot \dfrac{n-2019}{n-1} \cdot \dots \cdot \dfrac{-2016}{2} \cdot a_1\).

注意从递推公式中就可以看到这个数列从 \(2018\) 项开始，后面全部等于 \(0\), 通项公式中也能看到这一点.

不过, 通项公式可以进一步简化. 在 \(n \le 2017\) 时,
\[
\begin{aligned}
a_n &= \dfrac{n-2018}{n} \cdot \dfrac{n-2019}{n-1} \cdot \dots \cdot \dfrac{-2016}{2} \cdot a_1 \\
& = (-1)^{n-1} \cdot \dfrac{(2018-n) \cdot (2019-n) \cdot \dots \cdot 2016}{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2} \cdot \dfrac{2017}1 \cdot \dfrac{a_1}{2017} \\
& = (-1)^{n-1} \cdot C_{2017}^n \cdot \dfrac{a_1}{2017}
\end{aligned}
\]
其中, \(a_1 = -2017^2 - 2017 S_0 = -2017^2\), 故 \(a_n = 2017 \cdot C_{2017}^n \cdot (-1)^n\). 要求的式子为,
\[
\sum_{n=1}^{2017} 2^n a_n = 2017 \cdot \sum_{n=1}^{2017} C_{2017}^n \cdot (-2)^n = 2017 \cdot [(1-2)^{2017} - 1] = -4034
\]