已知 \(x,y > 0\), 求
\[
\frac{(2x+1) (y+1)}{2x^2 + 5y^2 + 7}
\]
的最大值.

Qer: QQ 群: 中国数学竞赛交流群 20200317

解答

设 \(t = \frac{2x^2 + 5y^2 + 7}{(2x+1) (y+1)}\), 显然 \(t>0\), 且去分母并移项有
\[
2x^2 - 2txy + 5y^2 - 2t x - t y - t + 7 = 0
\]
此式可变形为
\[
2x^2 - 2t (y+1) x + [5y^2 + 7 - t(y+1)] = 0
\]
从而视作关于 \(x\) 的一元二次方程, 于是应有
\[
\Delta_1 = 4t^2(y+1)^2 - 8 [5y^2 + 7 - t(y+1)] \ge 0
\]
整理得
\[
(t^2 - 10) y^2+ (2t^2 +2t) y + (t^2 + 2t - 14) \ge 0
\]
将它视作关于 \(y\) 的一元二次不等式, 则当 \(t < \sqrt{10}\) 时, 由于二次项系数 \(t^2 - 10 \le 0\), 应有
\[
\Delta_2 = (2t^2 + 2t)^2 - 4(t^2-10)(t^2+2t-14) \ge 0
\]
化简可得
\[
5t^2 + 4t - 28 \ge 0
\]
解得
\[
t \le -\frac{14}5 ~\text{或}~ t \ge 2
\]
因此, 当 \(t < \sqrt{10}\) 时, \(t\) 的最小正值为 \(2\), 此时由
\[
\begin{aligned}\Delta_1 &= 4t^2(y+1)^2 - 8 [5y^2 + 7 - t(y+1)] \\&= 16 (y+1)^2 - 8 [5y^2 + 7 - 2(y+1)] \ge 0\end{aligned}
\]
可解得 \(y=1\), 进一步由 \(t=2,y=1\) 可计算得到 \(x=2\).

综上所述, 在 \(t<\sqrt{10}\) 的前提条件下, \(t\) 在 \(x=2,y=1\) 时取得最小值 \(2\). 于是 \(t \ge \sqrt{10}\) 的情况就不用再讨论了.

快速解法

由于
\[
\begin{aligned}
2x^2 + 5y^2 + 7
&= (x^2 + 4y^2) + (x^2 + 4) + (y^2 + 1) + 2 \\
&\ge 4xy + 4x + 2y + 2 \\
&= 2(2x+1) (y+1)
\end{aligned}
\]
当且仅当 \(x = 2y = 2\) 时取等号, 因此
\[
\frac{(2x+1) (y+1)}{2x^2 + 5y^2 + 7} \le \frac12
\]