1. 已知二次函数 \(f(x) = a x^2 + b x + c\) 的图象过点 \((2,8)\), 且对一切实数 \(x\) 恒有 \(2x + 3 \le f(x) \le 2x^2 - 2x + 5\), 求 \(f(x)\).
2. 在平面直角坐标系中, 不论 \(m\) 取何值时, 抛物线 \(y = mx^2 + (2m+1) x - (3m+2)\) 都不通过的直线 \(y = -x+1\) 上的点有哪些? (写出全部符合条件点的坐标)

Qer: XUC 20181014

题 1

依题意, \(f(2) = 4a + 2b + c = 8\). 另外, 在已知条件中令 \(x = 1\), 有 \(5 \le f(1) \le 5\), 因此, \(f(1) = a+b+c = 5\). 这两组等式可解得 \(\begin{cases} b = 3-3a \\ c = 2+2a \end{cases}\), 于是 \(f(x) = ax^2 + (3-3a)x + (2+2a)\).

又依题意 \(f(x) - (2x+3) = a x^2 + (1-3a) x + (-1+2a) \ge 0\) 恒成立, 于是 \(a > 0\) 且
\[
\Delta = (1-3a)^2 - 4a(-1+2a) = a^2 - 2a + 1 \le 0
\]
因此, \(a = 1\). 故 \(b=0\), \(c=4\), \(f(x) = x^2 +4\).

另外, 又 \(f(x) - (2x^2 - 2x + 5) = (a-2) x^2 + (5-3a) x + (-3+2a) \le 0\) 恒成立, 有 \(a-2 < 0\) 且
\[
\Delta = (5-3a)^2 - 4(a-2)(-3+2a) = a^2 - 2a +1 \le 0
\]
解得的也是 \(a = 1\).

题 2

联立抛物线和直线方程, 变形可得
\[
m (x^2 + 2x - 3) = -2x + 3
\]
将它视作关于 \(m\) 的一元一次方程, 则 \(x = 1\) 或 \(-3\) 时, 此方程无解. 这个结果可以解释为:
无论 \(m\) 取何值, 抛物线和直线的交点横坐标都不可能是 \(1\) 或 \(-3\); 而对于其它可能的交点横坐标值, 都有合适的 \(m\) 取值与之对应.

直线 \(y = -x+1\) 上, 横坐标 \(1\) 和 \(-3\) 所对应的纵坐标分别是 \(0\) 和 \(4\), 因此抛物线不会通过的直线上的点只有 \((1,0)\) 和 \((-3,4)\) 两个.