证明不等式:
\[
[nx] \ge \dfrac{[x]}1 + \dfrac{[2x]}2 + \dfrac{[3x]}3 + \dots +\dfrac{[nx]}n
\]
其中, \(n \in \mathbb N^*\), \([x]\) 表示不大于 \(x\) 的最大整数.

src 第十届美国数学奥林匹克第五题

Qer: zhangboxin 20171125

解答

令
\[
A_n = \dfrac{[x]}1 + \dfrac{[2x]}2 + \dfrac{[3x]}3 + \dots +\dfrac{[nx]}n
\]
需证明 \([nx] \ge A_n\), 对 \(n\) 进行归纳 (第二数学归纳法).

当 \(n=1\) 时显然成立.

设 \(n \le k\) 时, 不等式均成立, 即
\[
A_1 \le [x], A_2 \le [2x], \dots, A_k \le [kx]
\]
由于
\[
\begin{aligned}
(k+1) A_{k+1} - (k+1) A_k &= [(k+1)x] \\
k A_k - k A_{k-1} &= [kx] \\
\vdots\\
2 A_2 - 2 A_1 &= [2x] \\
A_1 &= [x]
\end{aligned}
\]
全部累加起来有
\[
\begin{gathered}
(k+1) A_{k+1} - (A_1 + A_2 + \dots + A_k) \le [x] + [2x] + \dots +[(k+1)x] \\
(k+1) A_{k+1} \le (A_1 + A_2 + \dots + A_k) + [x] + [2x] + \dots +[(k+1)x]
\end{gathered}
\]
而
\[
\begin{gathered}
A_1 + [kx] \le [x] + [kx] \le [(k+1)x] \\
A_2 + [(k-1)x] \le [2x] + [(k-1)x] \le [(k+1)x] \\
\vdots \\
A_k + [x] \le [kx] + [x] \le [(k+1)x] \\
\end{gathered}
\]
因此,
\[
\begin{gathered}
(k+1) A_{k+1} \le (k+1) \cdot [(k+1)x] \\
A_{k+1} \le [(k+1)x]
\end{gathered}
\]
证毕.